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它们在功能方面是与那些从发展一开始就出现的特点相类似的，但它们对以后的结构化作用有着重要得多的意义。因为它们使已经存在的、现在头一次得到稳定的运演结构臻于完善，在它们的“具体运演”的基地上建构起那些“对运演的运演”或第二级运演，这些运演是由命题运演或形式运演组成的，具有着它们的组合性特点、它们的四变数群、它们的比例关系和分布关系、以及因果领域内由这些新特征才使之成为可能的一切东西。

六、形式运演

随着在将近十一岁到十二岁时开始形成的形式运演的出现，我们就达到了运演发展过程的第三个重要阶段。在这个阶段，运演从其对时间的依赖性中解脱了出来，也就是说从儿童活动的前后心理关系中解脱了出来——在这种前后关系中运演的蕴含特性或者说逻辑特性也具有因果性的方面。正是在这个阶段，运演最后具有了超时间性，这种特性是纯逻辑数学关系所特有的。第一阶段是符号功能阶段（将近一岁半到两岁）：模仿内化为表象形式而儿童学会了说话，使得现在能把先后相继的活动压缩成为同时性表象的形式。第二重要阶段是具体运演开始的阶段。具体运演把预见和回顾协调了起来，因而产生了可逆性，它可以说能“把时钟倒拨回来”并回复到时间上的起点。不过，我们在这方面虽可以谈到儿童对时间观念的日益增长的掌握，时间仍然跟活动和摆弄实物动作紧密地联系在一起，而活动和摆弄实物在时间上却是先后相继的。因为我们讨论的仍然是“具体”运演，即同客体和实际物理变化有关的运演。另一方面，“形式”运演标志出一个第三阶段。在这里认识超越于现实本身，把现实纳入可能性和必然性的范围之内；从而就无需具体事物作为中介了。以整数的无穷级数、连续统的幂、或由p、q这两个命题及其反命题的组合而产生的十六种运演等作为例证的这个认知的可能性王国，与发生在时间上的物理位移相反，在本质上是超时间的。

形式运演的主要特征是它们有能力处理假设而不只是单纯地处理客体：这是研究这个问题的所有作者都注意到的儿童在十一岁左右出现的那个基本创新。但是这个特点还牵涉到另一个同等重要的特点。儿童提出的假设并不是客体，而是命题，假设的内容则是类、关系等等的能够直接予以证实的命题内运演；从假设推导出来的推论也是这样。另一方面，我们利用它来从假设达到结论的那种演绎性运演则属于一个十分不同的类型，这是命题间运演，是对运演进行的运演，也就是二级运演。在这里我们看到了只是在当前这个水平上而不是在早于这个水平上所形成的这些运演的一个很普遍的特点，这些运演有例如应用蕴含等等的运演，应用命题逻辑的运演或在关系之间加工制造出的关系（比例关系、分布关系等）的运演，以及协调两个参照系统的运演等等。

就是这个对运演进行运演的能力使得认识超越了现实，并且借助于一个组合系统而使认识可以达到一个范围无限的可能性，而运演就不再像具体运演那样限于一步一步地建构了。例如，n乘n的组合为一切可能的分类形成了一个分类；排列性运演则为一切可能的系列化形成了一个系列化，如此等等。形式运演的一个重要的新特点在于形式运演是以一个组合系统为基础通过加工制造出“所有子集合的集合”，或者说单纯形，而使最初的系统变得丰富起来的。特别是，我们知道命题运演是具有这种结构的，正如一般类的逻辑一旦摆脱了最初“群集”的特定限制就能具有这种结构一样。同时格的建构也能够出现了。因此在迄今已描述的种种新特点之间是存在着重要的统一性的。

但是，我们需要指出另一种基本结构。我们对心理学事实的分析使我们大约在一九四八年到一九四九年就能够把这种结构分析出来，时间比逻辑学者对它感到兴趣时还早。这就是把命题组合（或一般地说“所有子集合的集合”）之内的反运演和互反性运演联合成为一个单一的“四变数群”（即克莱因群）。具体运演有两种形式的可逆性：反运演或者说否定性运演，它会把一个项消去，例如＋A－A＝0；以及互反性运演（A＝B，和B＝A，等等），它会产生等值，因而把差别性消去了。但是，如果反运演是类的群集的特征而互反性运演是关系的群集的特征，那么，在具体运演水平上就还不存在一个把这两种运演联结成为一个单一整体的完整系统。另一方面，在命题组合系统的水平上，每个运演如pq含蕴着一个反命题N，即p·q，同时也蕴含着一个互反性命题R，即pq＝qp，而且也蕴含着一个关联性命题C，即p·q，